【인민교육출판사】고등학교 수학 필수 제2권 (A판): 무작위 시험과 표본공간의 집합적 표현

무작위 시험 (Random Trial)무작위 현상의 구현과 그 관찰을 통칭하여 무작위 시험이라 하며, 간단히 '시험'이라고도 부르며 보통 문자 $E$ 로 나타냅니다. 시험에서 가능한 각 결과를표본점 (Sample Point)라 하고, 모든 표본점의 집합을표본공간 (Sample Space)라고 하며, 일반적으로 $\Omega$ 로 표시합니다.

핵심 개념 설명

확률론에서는 집합 언어를 사용하여 우연한 현상을 설명합니다. 만약 어떤 시험의 가능한 결과가 유한 개일 경우, 이를유한 표본공간이라고 합니다. 예를 들어:

동전을 던지는 시험: $\Omega = \{h, t\}$
두 개의 동전을 던지는 시험: $\Omega = \{(\text{앞면, 앞면}), (\text{앞면, 뒷면}), (\text{뒷면, 앞면}), (\text{뒷면, 뒷면})\}$

또한, 통계적 추론은 현실에서 매우 중요하며, 예를 들어체질량지수 (BMI) 연구에 있어 매우 중요합니다. 중국 성인 기준은 다음과 같습니다: $BMI < 18.5$ 는 마른 체형, $18.5 \le BMI < 24$ 는 정상, $24 \le BMI < 28$ 는 비만 위험, $BMI \ge 28$ 는 비만입니다.

표본은 무작위성을 가지므로, 표본을 통해 전체 모집단을 추정할 때 통계적 추론 결과는 확률적 특성을 갖습니다. 이 점은 통계 결과를 실제 문제에 적용할 때 반드시 주의해야 할 사항입니다.

$$BMI=\frac{\text{체중 (kg)}}{\text{키}^2 (\text{m}^2)}$$

질문 1

균일한 주사위를 한 번 던졌을 때, 표본공간 $\Omega$ 의 표본점 개수는?

질문 2

다음 중 무작위 시험에 대한 설명으로 올바른 것은?

시험의 결과는 발생 전에 결정되어 있다

모든 표본점의 집합을 표본공간이라 한다

표본점은 무작위 사건이다

동전을 두 번 던졌을 때, 표본점은 총 2개이다

질문 3

무작위 시험 '학생의 성별을 기록하는 것'의 표본공간을 작성하세요.

$\Omega = \{\text{남성}, \text{여성}\}$

$\Omega = \{\text{학생}\}$

$\Omega = \{\text{남성}\}$

$\Omega = \{1, 0\}$

질문 4

자녀가 두 명인 가정에서 두 자녀의 성별을 관찰했을 때, 표본공간 $\Omega$ 는?

{(남성, 남성), (여성, 여성)}

{(남성, 남성), (남성, 여성), (여성, 남성), (여성, 여성)}

{2남성, 1남성1여성, 2여성}

{(남성, 여성)}

질문 5

누군가 목표물에 3번 쏘았을 때, 맞춘 횟수를 관찰합니다. 이 시험의 표본공간은?

{맞춤, 빗맞춤}

{0, 1, 2, 3}

{1, 2, 3}

{0, 3}

질문 6

복권 추첨 시, 0부터 9까지 번호가 적힌 10개의 공 중 하나를 추첨합니다. 이 시험의 가능한 결과는 몇 가지입니까?

무한히 많은 개수

질문 7

병렬 회로(요소 A, B 병렬 연결)에서, 사건 $N =$ '회로가 차단됨'을 포함하는 표본점은? (1은 정상, 0은 고장)

{(1, 1)}

{(1, 0), (0, 1)}

{(0, 0)}

{(1, 1), (1, 0), (0, 1)}

질문 8

다음 중 BMI에 관한 설명 중 틀린 것은?

BMI는 신체질량지수의 약자이다

BMI = 체중 / 키

BMI ≥ 28는 비만이다

18.5 ≤ BMI < 24는 정상이다

질문 9

두 개의 동전을 던졌을 때, '한쪽은 앞면, 한쪽은 뒷면'이 나오는 확률은?

0.25

0.5

0.75

질문 10

데이터의 중앙값이 평균보다 훨씬 작을 경우, 데이터에는 무엇이 존재할 수 있습니까?

이상적인 작은 값

이상적인 큰 값

최빈값

빈도 분포가 균일하다

종합 사례 및 논리적 도전

과제 1

[글쓰기 과제] 직원의 BMI 통계 분석 보고서

어떤 회사의 남성 직원 90명과 여성 직원 50명의 BMI 데이터(남성: 23.5, 21.6, 30.6..., 여성: 21.8, 18.2, 25.2...)를 바탕으로 통계 보고서를 작성하세요. 글자 수 요구사항: 200자 이상.

참고 예시:
1. 데이터 시각화: 남성 및 여성 직원의 BMI 분포를 각각 빈도 분포 히스토그램으로 표시하거나, 박스 플롯을 사용하여 비교하는 것을 권장합니다. 데이터를 기반으로 남성 직원의 BMI 평균은 약 24.2, 여성 직원은 약 22.5입니다.
2. 차이 비교: 남성 직원의 비만(즉, BMI ≥ 24) 비율은 여성 직원보다 명확히 높으며, 비만(즉, BMI ≥ 28) 현상은 남성 직원 집단에 많이 나타납니다. 여성 직원 대부분은 정상 범위 내에 있지만, 일부는 마른 체형입니다.
3. 종합 분석: 회사 직원들의 전반적인 건강 상태는 양호하지만, 남성 그룹은 과체중 위험이 높으며, 장시간 책상 근무나 운동 부족 때문일 수 있습니다.
4. 제안: 회사는 휴식 시간에 스트레칭 운동을 추가하고, 식당에서는 메뉴의 칼로리를 표시하며, 정기적으로 배드민턴이나 달리기 대회를 개최하여 남성 직원들이 체중을 관리하도록 장려할 수 있습니다.

과제 2

통계학 기본 개념 복습

다음 내용을 간략히 설명하세요: (1) 빈도 분포 히스토그램은 어떤 정보를 제공합니까? (2) 평균, 중앙값, 최빈값 각각의 특징은 무엇입니까? (3) 분산과 표준편차는 무엇을 설명합니까?

참고 답안:
(1) 히스토그램: 데이터의 중심 경향성, 변동 범위, 그리고 분포 형태(예: 대칭 여부)를 직관적으로 관찰할 수 있습니다.
(2) 중심 경향성: 평균은 평균 수준을 반영하며, 극단적인 값에 영향을 받습니다. 중앙값은 중간 위치의 값을 의미하며, 외부 영향에 강합니다. 최빈값은 가장 자주 나타나는 데이터를 반영합니다.
(3) 산포 정도: 분산과 표준편차는 데이터의 변동 크기를 반영합니다. 값이 클수록 데이터가 중심에서 벗어나는 정도가 커지고, 더 불안정하다는 의미입니다.

과제 3

두 개의 동전 게임은 공정한가요?

게임 규정: 두 개의 동전이 동시에 앞면이거나 동시에 뒷면이면, 가(甲) 승; 한쪽은 앞면, 한쪽은 뒷면이면, 나(乙) 승. 판단하고 이유를 설명하세요.

해설:
이 게임은 공정합니다.
표본공간 $\Omega = \{(h, h), (h, t), (t, h), (t, t)\}$, 총 4개의 표본점이 있습니다.
가(甲) 승리 사건 $A = \{(h, h), (t, t)\}$, 2개의 표본점 포함, 확률 $P(A) = 2/4 = 0.5$.
乙胜的事件 $B = \{(h, t), (t, h)\}$，包含 2 个样本点，概率 $P(B) = 2/4 = 0.5$。
$P(A) = P(B)$ 이므로, 게임은 공정합니다.

과제 4

빈도와 확률에 대한 논의

"사건 A가 발생하는 빈도 $f_n(A)$ 를 사용해 확률 $P(A)$ 를 추정할 때, 반복 실험 횟수 $n$ 가 클수록 추정이 더 정확해진다."라는 주장은 올바른가요? 예를 들어 설명하세요.

해설:
이 주장은 올바릅니다. 실험 횟수 $n$ 가 증가함에 따라, 무작위 사건이 발생하는 빈도 $f_n(A)$ 는 안정성을 보이며, 점점 그 확률 $P(A)$ 에 가까워집니다.
예시: 균일한 동전을 던져봅시다. 10번 던졌을 때 앞면이 7번 나올 수도 있고(빈도 0.7), 1000번 던졌을 때 앞면 횟수는 보통 500번 근처에서 진동합니다(빈도는 0.5에 가까움). 100,000번 던졌을 때는 빈도가 매우 안정적으로 0.5 근처에 머뭅니다. 이는 대수의 법칙의 직관적인 예시입니다.